Тригонометричні формули

Математика · 9–11 клас

Усі основні тригонометричні формули шкільного курсу алгебри: від основної тотожності до формул перетворення суми в добуток і розв’язків найпростіших рівнянь.

Основні тотожності

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

основна тригонометрична тотожність

tg α = \frac{\sin α}{\cos α}, ctg α = \frac{\cos α}{\sin α}

tg α \cdot ctg α = 1

1 + {tg}^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}, 1 + {ctg}^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}

Формули додавання

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β

\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

tg (α \pm β) = \frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}

Формули подвійного кута

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α

\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}

Формули пониження степеня і половинного кута

\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}, \cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}

пониження степеня

\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2}, \cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + \cos α}{2}

половинний кут

tg \frac{α}{2} = \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos α}{\sin α}

Сума й різниця функцій

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}

Добуток функцій

\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))

\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) + \cos (α + β))

\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α - β) + \sin (α + β))

Знаки за чвертями

Чверть	Кут	$\sin$	$\cos$	$tg$ , $ctg$
I	0°–90°	+	+	+
II	90°–180°	+	−	−
III	180°–270°	−	−	+
IV	270°–360°	−	+	−

Найпростіші тригонометричні рівняння

\sin x = a, | a | \leq 1 : x = (- 1)^{n} \arcsin a + π n

\cos x = a, | a | \leq 1 : x = \pm \arccos a + 2 π n

tg x = a : x = arctg a + π n

ctg x = a : x = arcctg a + π n

Тут $n$ — будь-яке ціле число. Окремі випадки: $\sin x = 0 \Rightarrow x = π n$ ; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + π n$ .