Таблиця похідних

Математика · 10–11 клас

Похідна функції $f (x)$ показує швидкість її зміни: геометрично це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка. Нижче — похідні основних функцій і правила, за якими знаходять похідну будь-якого виразу.

Таблиця похідних основних функцій

(C)^{'} = 0

стала

(x)^{'} = 1

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

степенева функція

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

(e^{x})^{'} = e^{x}

(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}

(\sin x)^{'} = \cos x

(\cos x)^{'} = - \sin x

(tg x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}

(ctg x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}

(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

(arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Правила диференціювання

(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}

похідна суми й різниці

(C u)^{'} = C u^{'}

сталий множник

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

похідна добутку

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

похідна частки

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

похідна складеної функції

Рівняння дотичної і фізичний зміст

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

дотична до графіка в точці

x_{0}

v (t) = s^{'} (t), a (t) = v^{'} (t)

швидкість і прискорення

Приклади

(3 x^{4} - 2 x + 5)^{'} = 12 x^{3} - 2

(x^{2} \sin x)^{'} = 2 x \sin x + x^{2} \cos x

(\sin 3 x)^{'} = 3 \cos 3 x

((2 x + 1)^{5})^{'} = 5 (2 x + 1)^{4} \cdot 2 = 10 (2 x + 1)^{4}