Формули площ і периметрів фігур

Математика · 5–9 клас

Формули площ і периметрів основних фігур на площині. Позначення: $a$ , $b$ , $c$ — сторони, $h$ — висота, $d_{1}$ , $d_{2}$ — діагоналі, $R$ — радіус описаного кола (для круга — його радіус), $r$ — радіус вписаного кола, $p$ — півпериметр.

Трикутник

S = \frac{1}{2} a h_{a}

через сторону і висоту, проведену до неї

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

через дві сторони і кут між ними

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}, p = \frac{a + b + c}{2}

формула Герона

S = p r

через півпериметр і радіус вписаного кола

S = \frac{a b c}{4 R}

через сторони і радіус описаного кола

S = \frac{1}{2} a b

прямокутний трикутник,

a

b

— катети

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

рівносторонній трикутник

P = a + b + c

периметр

Приклад на формулу Герона: сторони 13, 14 і 15. $p = 21$ , $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ .

Чотирикутники

Фігура	Площа	Периметр
Квадрат	$S = a^{2} = \frac{d^{2}}{2}$	$P = 4 a$
Прямокутник	$S = a b$	$P = 2 (a + b)$
Паралелограм	$S = a h_{a} = a b \sin α$	$P = 2 (a + b)$
Ромб	$S = a h = \frac{d_{1} d_{2}}{2} = a^{2} \sin α$	$P = 4 a$
Трапеція	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ ( $a$ , $b$ — основи)	$P = a + b + c + d$
Довільний чотирикутник	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} \sin φ$ ( $φ$ — кут між діагоналями)	сума сторін

Коло і круг

C = 2 π R = π d

довжина кола

S = π R^{2}

площа круга

l = \frac{π R α}{180 °}

довжина дуги з градусною мірою

α

S = \frac{π R^{2} α}{360 °}

площа сектора

Число $π \approx 3,14$ . Приклад: круг радіусом 5 см має площу $π \cdot 25 \approx 78,5$ см², а коло — довжину $2 π \cdot 5 \approx 31,4$ см.