Таблиця інтегралів (первісних)

Математика · 11 клас

Функцію $F (x)$ називають первісною для $f (x)$ , якщо $F^{'} (x) = f (x)$ . Усі первісні записують як невизначений інтеграл: $\int f (x) d x = F (x) + C$ , де $C$ — довільна стала. Таблицю первісних отримують, «читаючи» таблицю похідних справа наліво.

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

\int k d x = k x + C

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq - 1

\int \frac{d x}{x} = \ln | x | + C

\int \frac{d x}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} + C

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C

\int \sin x d x = - \cos x + C

\int \cos x d x = \sin x + C

\int \frac{d x}{\cos^{2} x} = tg x + C

\int \frac{d x}{\sin^{2} x} = - ctg x + C

\int \frac{d x}{1 + x^{2}} = arctg x + C

\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin x + C

Властивості

\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

\int f (k x + b) d x = \frac{1}{k} F (k x + b) + C

лінійна заміна

Визначений інтеграл і площа

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

формула Ньютона–Лейбніца

Якщо $f (x) \geq 0$ на відрізку $[a; b]$ , то інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції під графіком. Приклади:

\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{8}{3}

\int_{0}^{π} \sin x d x = - \cos π + \cos 0 = 2

площа під однією «хвилею» синусоїди