Формули скороченого множення

Математика · 7–9 клас

Формули скороченого множення дають змогу швидко підносити двочлени до квадрата й куба, розкладати многочлени на множники і рахувати усно. Їх вивчають в алгебрі 7 класу, а потрібні вони до 11 класу й на НМТ.

Сім формул скороченого множення

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

квадрат суми

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

квадрат різниці

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

різниця квадратів

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

куб суми

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

куб різниці

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

сума кубів

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

різниця кубів

Як читати першу формулу: квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого на другий плюс квадрат другого. Вирази $a^{2} - a b + b^{2}$ і $a^{2} + a b + b^{2}$ у формулах суми й різниці кубів називають неповними квадратами різниці й суми.

Приклади

(3 x + 2)^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4

(5 - y)^{2} = 25 - 10 y + y^{2}

51^{2} = (50 + 1)^{2} = 2500 + 100 + 1 = 2601

усний рахунок

49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 2500 - 1 = 2499

усний рахунок

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

розкладання на множники

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

згортання в квадрат

8 - y^{3} = (2 - y) (4 + 2 y + y^{2})

різниця кубів

Ще дві корисні формули

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

квадрат суми трьох доданків

a^{4} - b^{4} = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})

різниця четвертих степенів