Дискримінант і формула коренів квадратного рівняння

Математика · 8–9 клас

Квадратне рівняння — рівняння виду $a x^{2} + b x + c = 0$ , де $a \neq 0$ . Число $a$ — перший коефіцієнт, $b$ — другий, $c$ — вільний член. Кількість коренів залежить від знака дискримінанта.

Формула дискримінанта

D = b^{2} - 4 a c

Дискримінант	Корені рівняння
$D > 0$	два різні корені: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$
$D = 0$	один корінь (два однакові): $x = - \frac{b}{2 a}$
$D < 0$	дійсних коренів немає

Якщо другий коефіцієнт парний

Якщо $b = 2 k$ , рахувати простіше за «чвертю дискримінанта»:

D_{1} = k^{2} - a c, x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}

Теорема Вієта

Якщо $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ , то:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Для зведеного рівняння $x^{2} + p x + q = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . Квадратний тричлен розкладається на множники так: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Неповні квадратні рівняння

Рівняння	Як розв’язати
$a x^{2} + b x = 0$	винести $x$ : $x (a x + b) = 0$ , корені $x = 0$ і $x = - \frac{b}{a}$
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ ; якщо $- \frac{c}{a} > 0$ , то $x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$ , інакше коренів немає
$a x^{2} = 0$	один корінь $x = 0$

Приклади

2 x^{2} - 7 x + 3 = 0 : D = 49 - 24 = 25, x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{4}, x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{2}

x^{2} - 6 x + 9 = 0 : D = 36 - 36 = 0, x = 3

x^{2} + x + 1 = 0 : D = 1 - 4 = - 3 < 0

коренів немає

x^{2} - 8 x + 7 = 0 : D_{1} = 16 - 7 = 9, x = 4 \pm 3, x_{1} = 7, x_{2} = 1